Главная Типологии Понятие векторного пространства частные случаи. Векторное пространство. Связанные определения и свойства

Понятие векторного пространства частные случаи. Векторное пространство. Связанные определения и свойства

Пусть V - непустое множество, элементы которого мы назовём векторами и будем обозначать …и т.д. Пусть на Vзаданы и определеным каким-либо образом две операции. Первая операция - бинарная аддитивная операция (или грубо говоря - операция сложения). Эту операцию обозначим знаком +, (впрочем, необязательно, чтобы на все 100% эта операция определялась так, как определяется операция сложения для обычных чисел, мы ведь не числа сейчас изучаем, а векторы, поэтому эту операцию сложения векторов можно обозначить и каким-то своим, особым знаком, например так: (). Вторая операция - умножение вектора на какой-нибудь элемент? такого множества, которое является полем, в результате которой получается новый вектор (). Элементы поля называют ещё скалярами. (Кому лень смотреть, что такое поле, скажу что примерами алгебраических полей могут служить множество действительных или также комплексных чисел). (4)

Итак, сформулируем аксиомы векторного пространства. (3)

1. a) сумма любых двух элементов из V и б) произведение скаляра и произвольного элемента из V являются некоторыми элементами из V (векторами).

2. сложение любых трёх элементов из V подчиняется сочетательному закону (или как ещё говорят - векторное сложение ассоциативно):

3. сложение любых двух элементов из V подчиняется переместительному закону (векторное сложение коммутативно): .

4. существует такой элемент из V (нулевой вектор), что для любого.

5. для любого элемента из V существует такой элемент из V, сумма которого с исходным элементом равна, т.е. (.

Для любых скаляров (чисел) ? и? и для любых двух векторов из V

Векторное подпространство

Векторным подпространством, или просто подпространством, векторное пространство Е нал полем К называется множество, замкнутое относительно действий сложения и умножения на скаляр. Подпространство, рассматриваемое отдельно от вмещающего его пространства, есть векторное пространство над тем же полем. (5)

Прямой линией, проходящей через две точки x и y векторного пространства Е, называется множество элементов вида, ??. Множество G называется плоским множеством, если вместе с любыми двумя оно содержит прямую, проходящую через эти точки. Каждое плоское множество получается из некоторого подпространства с помощью сдвига (параллельного переноса): G=x+F, это означает, что каждый элемент z представим единственным образом в виде y , причем при этом равенство осуществляет взаимно однозначное соответствие между F и G.

Совокупность всех сдвигов данного подпространства F образует векторное пространство над K, называется факторпространством E/F, если определитель операции следующим образом:

Пусть М = - произвольное множество векторов Е; линейной комбинацией векторов называется вектор x, определенный формулой

в которой лишь конечное число коэффициентов отлично от нуля. Совокупность всех линейных комбинаций векторов данного множества М является наименьшим подпространством, содержащим М, и называющийся линейной оболочкой множества М. Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты равны нулю. Множество М называется линейно зависимым множеством, если все нетривиальные линейные комбинации векторов из М отличны от нуля.

В теории действительных и комплексных векторных пространств важную роль играет теория выпуклых множеств. Множество М в действительном векторном пространстве называется выпуклым множеством, если вместе с любыми двумя его точками x, y отрезок также принадлежит М.

Большое место в теории векторных пространств занимает теория линейных функционалов на векторное пространство и связанная с этим теория двойственности. Пусть Е есть векторное пространство над полем К. Линейным функционалом на Е называется аддитивное и однородное отображение усть Е есть векторное пространство над полем К. Линейным функционалом на Е называется аддитивное и однородное отображение

Множество всех линейных функционалов на Е образует векторное пространство над полем К относительно операций

Это векторное пространство называется сопряженным (или двойственным) пространством (к Е). С понятием сопряженного пространства связан ряд геометрических терминов. Пусть D?E (соответственно множество Г) называется множество

(соответственно); здесь и - подпространства соответственно пространств и Е. Если f - ненулевой элемент, то {f } есть максимальное собственное линейное подпространство в Е, называется иногда гиперподпространством; сдвиг такого подпространства называется гиперплоскостью в Е; всякая гиперплоскость имеет вид

{x: f(x)= ??}, где f ? 0, f , К.

Подмножество называется тотальным подмножеством над Е, если его аннулятор содержит лишь нулевой элемент ={0}.

Каждому линейно независимому множеству можно сопоставить сопряженное подмножество, т.е. такое множество, что (Кронекера символ) для всех. Множество пар называется при этом биорторгональной системой. Если множество есть базис в Е, то тотально над Е.

Значительное место в теории векторных пространств занимает теория линейных преобразований векторного пространства. Пусть - два векторных пространства над одним и тем же полем К. Линейным отображением, или линейным оператором, Т, отображающим векторное пространство в векторном пространстве (или линейным оператором из в.

Два векторных пространства и называются изоморфными векторными пространствами, если существует линейный оператор («изоморфизм»), осуществляющий взаимно однозначное соответствие между их элементами и.

С теорией линейных отображений векторного пространства тесно связана теория билинейных отображений и полилинейных отображений векторного пространства.

Важную группу задач теории векторного пространства образуют задачи продолжения линейных отображений. Пусть F - подпространство векторного пространства - линейное пространство над тем же полем, что и, и пусть - линейное отображение F в; требуется найти продолжение Т отображения, определенное на всем и являющееся линейным отображением в. Такое продолжение всегда существует, но дополнительные ограничения на функции (связанные с дополнительными структурами в векторное пространство, например, топологией или отношением порядка) могут сделать задачу неразрешимой. Примерами решения задачи продолжения являются Хана-Банаха теорема и теоремы о продолжении положительных функционалов в пространствах с конусом.

Важным разделом теории Векторных пространств является теория операция над векторными пространствами, т.е. способов построения новых векторных пространств по известным. Примеры таких операций - известные операции взятия подпространства и образования факторпространства по подпространству. Другие важные операции - построение прямой суммы, прямого произведения и тензорного произведения векторного пространства.

Пусть Р – поле. Элементы a, b, ... ÎР будем называть скалярами .

Определение 1. Класс V объектов (элементов) , , , ... произвольной природы называется векторным пространством над полем Р , а элементы класса V называются векторами , если V замкнуто относительно операции «+» и операции умножения на скаляры из Р (т.е. для любых , ÎV +ÎV ;"aÎ Р aÎV), и выполняются следующие условия:

А 1: алгебра - абелева группа;

А 2: для любых a, bÎР, для любого ÎV выполняется a(b)=(ab)- обобщенный ассоциативный закон;

А 3: для любых a, bÎР, для любого ÎV выполняется (a+b)= a+ b;

А 4: для любого a из Р, для любых , из V выполняется a(+)=a+a(обобщённые дистрибутивные законы);

А 5: для любого из V выполняется 1 = , где 1 – единица поля Р - свойство унитарности.

Элементы поля Р будем называть скалярами, а элементы множества V - векторами.

Замечание. Умножение вектора на скаляр не является бинарной операцией на множестве V, так как это отображение P´V®V.

Рассмотрим примеры векторных пространств.

Пример 1. Нулевое (нуль-мерное) векторное пространство - пространство V 0 ={} - состоящее из одного нуль-вектора.

И для любого aÎР a=. Проверим выполнимость аксиом векторного пространства.

Заметим, что нулевое векторное пространство существенно зависит от поля Р. Так, нульмерные пространства над полем рациональных чисел и над полем действительных чисел считаются различными, хоть и состоят из единственного нуль-вектора.

Пример 2. Поле Р само является векторным пространством над полем Р. Пусть V=P. Проверим выполнимость аксиом векторного пространства. Так как Р - поле, то Р является аддитивной абелевой группой и А 1 выполняется. В силу выполнимости в Р ассоциативности умножения выполняется А 2 . Аксиомы А 3 и А 4 выполняются в силу выполнимости в Р дистрибутивности умножения относительно сложения. Так как в поле Р существует единичный элемент 1, то выполняется свойство унитарности А 5 . Таким образом, поле Р является векторным пространством над полем Р.

Пример 3. Арифметическое n-мерное векторное пространство.

Пусть Р - поле. Рассмотрим множество V= P n ={(a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i Î P, i=1,…, n}. Введём на множестве V операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр по следующим правилам:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) Î V, "aÎ P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + b n) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Элементы множества V будем называть n-мерными векторами . Два n-мерных вектора называются равными, если их соответствующие компоненты (координаты) равны. Покажем, что V является векторным пространством над полем Р. Из определения операций сложения векторов и умножения вектора на скаляр следует, что V замкнуто относительно этих операций. Так как сложение элементов из V сводится к сложению элементов поля Р, а Р является аддитивной абелевой группой, то и V является аддитивной абелевой группой. Причём, = , где 0 - ноль поля Р, -= (-a 1 , -a 2 , … , -a n). Таким образом, А 1 выполняется. Так как умножение элемента из V на элемент из Р сводится к умножению элементов поля Р, то:

А 2 выполняется в силу ассоциативности умножения на Р;

А 3 и А 4 выполняются в силу дистрибутивности умножения относительно сложения на Р;

А 5 выполняется, так как 1 Î Р - нейтральный элемент относительно умножения на Р.

Определение 2. Множество V= P n с операциями, определёнными формулами (1) и (2) называется арифметическим n-мерным векторным пространством над полем Р.

1. Понятие линейного пространства

Определение 1.1. Множество R элементов x, y, z, ... любой природы называется линейным (или векторным) пространством, если выполнены следующие три требования:

Существует правило, посредством которого любым двум элементам x и y множества R ставится в соответствие третий элемент z этого множества, называемый суммой элементов x и y и обозначаемый z=x+y.
Существует правило, посредством которого любому элементу x множества R и любому вещественному числу α ставится в соответствие элемент w этого множества, называемый произведением элемента x на число α и обозначаемый w=αx или w=xα.
Представленные два правила подчинены следующим восьми аксиомам:

x+y=y+x (переместительное свойство суммы);
(x+y)+z=x+(y+z) (сочетательное свойство суммы);
существует нулевой элемент 0 такой, что x +0=x для любого элемента x .
для любого элемента x существует противоположный элемент элемент x" такой, что x+x" =0;
1·x=x для любого x;
λ(μx)=(λμ)x (сочетательное свойство относительно числового множителя);
(λ+μ )x=λx+μx (распределительное свойство относительно числовых множителей);
λ(x+y)=λx+λy (распределительное свойство относительно суммы элементов).

Элементы линейного (векторного) пространства называются векторами.

2. Базис линейного пространства

Определение 2.1. Совокупность линейно независимых элементов пространства R называется базисом этого пространства, если для каждого элемента x пространства R существуют вещественные чиcла такие, что выполнено равенство

Равенство (2.1) называется разложением элемента x по базису а числа называются координатами элемента x (относительно базиса ).

Докажем, что любой элемент x линейного пространства R

Пусть существует и другое разложение x :

Вычитая (2.1) из (2.2) имеем:

(2.3)

Так как базисные элементы линейно независимы из соотношения (2.3) следует, что

Следовательно каждый элемент линейного пространства R может быть разложен по базису единственным образом.

Теорема 2.2. При сложении произвольных двух элементов линейного пространства R их координаты (относительно любого базиса пространства R ) складываются, а при умножении любого элемента x на любое число α все координаты x умножаются на α .

Доказательство следует из аксиом 1-8 определения 1.1.

3. Размерность линейного пространства

Рассмотрим произвольное вещественное пространство R .

Определение 3.1. Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых элементов, а любые (n +1) элементов уже являются линейно зависимыми . При этом число n называется размерностью пространства R .

Размерность пространства обозначают символом dim.

Определение 3.2. Линейное пространство R называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов.

Теорема 3.3. Пусть R является линейным пространствам размерности n (dim R=n ). Тогда любые n линейно независимых элементов этого пространства образуют его базис.

Доказательство. Так как R является n -мерным пространством, то из определения 2.1 следует, что в нем существует совокупность из n линейно независимых элементов . Пусть x - любой элемент из R . Тогда согласно определению 3.1 линейно зависимы, т.е. существуют числа (не все равные нулю) такие, что справедливо равенство

(3.3)

Из равенства (3.3) следует, что любой вектор из пространства R может быть разложен по элементам и, следовательно, они образуют базис пространства R . ■

Теорема 3.4. Пусть линейное пространство R имеет базис, состоящий из n элементов. Тогда размерность R равна n (dim R=n ).

Доказательство. Пусть множество n элементов является базисом пространства R . Достаточно доказать, что любые n +1 элементы этого пространства линейно зависимы. Разложив эти элементы по базису, получим:

где a 11 , a 12 ,..., a n+1,n вещественные числа.

Пусть элементы линейно независимы. Перепишем (3.4) в матричном виде:

Так как линейно независимы, матрица A имеет обратную матрицу A -1 . Решив матричное уравнение (3.5) относительно получим:

Как видно из уравнения (3.9) можно представить линейной комбинацией векторов . Следовательно векторы линейно зависимы. ■

4. Замена базиса и преобразование координат

Пусть в пространстве R наряду с исходным базисом имеется другой базис . Векторы этого базиса можно выразить через линейную комбинацию векторов исходного базиса следующим образом:

Матрица P называется матрицей замены базиса на .

В свою очередь, векторы исходного базиса выражаются через векторы нового следующим соотношением:

Из (4.6) следует, что QP=E , где E -единичная матрица , а матрицы Q и P взаимно обратные матрицы .

Рассмотрим как изменяются координаты векторов при замене базиса.

Пусть вектор x имеет координаты и координаты , тогда

(4.7)

Матрица P T называется матрицей преобразования координат . Она транспонирована с матрицей замены базиса. Обратная матрица (P T) -1 дает выражения новых координат через старые.

Матрица, обратная к транспонированной для некоторой матрицы, называется контраградиентной с ней.

5. Изоморфизм линейных пространств

Определение 5.1. Два произвольных вещественных линейных пространства R и R" называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если x, y ∈R отвечают x", y" ∊R" соответственно, то элементу x+y ∈R отвечает элемент x"+y" ∈R" , а для любого вещественного α , элементу α x ∈R отвечает элемент α x" ∈R" .

Теорема 5.2. Если пространства R и R" изоморфны, то они имеют одинаковую размерность.

Доказательство. Пусть линейные пространства R и R" изоморфны, и пусть элементам пространства R отвечают элементы пространства R" соответственно. Допустим элементы линейно независимы. Покажем, что элементы также линейно независимы. Исходя из обратного предположения допустим, что элементы линейно зависимы. тогда один из них можно представить линейной комбинацией остальных элементов:. Но элементам отвечают элементы y в пространстве R, а сумме отвечает сумма . Но последнее означает линейную зависимость элементов . Следовательно линейно независимы. Из линейной зависимости элементов следует линейная зависимость элементов . Следовательно максимальное количество линейно независимых векторов для пространств R и R" одно и то же, т.е. эти пространства имеют одинаковую размерность. ■

Теорема 5.3. Любые два n -мерных вещественных линейных пространства R и R" изоморфны.

Доказательство. Выберем базисы и для пространств R и R" соответственно. Тогда каждый элемент пространства R можно представить линейной комбинацией базисных элементов: . Этому элементу в пространстве R" поставим в соответствие элемент теми же координатами:. В свою очередь элементу x" пространства R" соответствует элемент x пространства R . Отметим, что если элементам x и y пространства R отвечают элементы x" и y" пространства R" соответственно, то исходя из теоремы 2.2 элементу x+y пространства R отвечает элемент x"+y" пространства R" , а элементу α x отвечает элемент α x" . ■

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Ве́кторное (или лине́йное ) простра́нство - математическая структура , которая представляет собой набор элементов, называемых векторами , для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число - скаляр . Эти операции подчинены восьми аксиомам. Скаляры могут быть элементами вещественного , комплексного или любого другого поля чисел . Частным случаем подобного пространства является обычное трехмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил . При этом следует отметить, что вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка . Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы .

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры . Одна из главных характеристик векторного пространства - его размерность. Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубому геометрическому описанию, число направлений, невыразимых друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением . Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе , преимущественно в виде бесконечномерных функциональных пространств (англ. ), где в качестве векторов выступают функции . Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев - подходящей топологией , что позволяет определить понятия близости и непрерывности . Такие топологические векторные пространства , в частности, банаховы и гильбертовы , допускают более глубокое изучение.

Кроме векторов, линейная алгебра изучает также тензоры более высокого ранга (скаляр считается тензором ранга 0, вектор - тензором ранга 1).

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку . Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия , учения о матрицах , системах линейных уравнений , евклидовых векторах .

Определение

Линейное , или векторное пространство $V \left(F \right)$ над полем $F$ - это упорядоченная четвёрка $(V,F,+,\cdot)$ , где

$V$ - непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами ;
$F$ - (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами ;
Определена операция сложения векторов $V\times V\to V$ , сопоставляющая каждой паре элементов $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ множества $V$ $V$ , называемый их суммой и обозначаемый $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ ;
Определена операция умножения векторов на скаляры $F\times V\to V$ , сопоставляющая каждому элементу $\lambda$ поля $F$ и каждому элементу $\mathbf{x}$ множества $V$ единственный элемент множества $V$ , обозначаемый $\lambda\cdot \mathbf{x}$ или $\lambda\mathbf{x}$ ;

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел $\mathbb{R}^2$ может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным - над полем комплексных чисел).

Простейшие свойства

Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
Нейтральный элемент $\mathbf{0} \in V$
$0\cdot\mathbf{x} = \mathbf{0}$ для любого $\mathbf{x} \in V$ .
Для любого $\mathbf{x} \in V$ противоположный элемент $-\mathbf{x} \in V$ является единственным, что вытекает из групповых свойств.
$1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}$ для любого $\mathbf{x} \in V$ .
$(-\alpha)\cdot\mathbf{x} = \alpha\cdot(-\mathbf{x}) = -(\alpha\mathbf{x})$ для любых $\alpha \in F$ и $\mathbf{x} \in V$ .
$\alpha\cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}$ для любого $\alpha \in F$ .

Связанные определения и свойства

Подпространство

Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество $K$ линейного пространства $V$ такое, что $K$ само является линейным пространством по отношению к определенным в $V$ действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как $\mathrm{Lat}(V)$ . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

для всякого вектора $\mathbf{x}\in K$ , вектор $\alpha\mathbf{x}$ также принадлежал $K$ , при любом $\alpha\in F$ ;
для всяких векторов $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in K$ , вектор $\mathbf{x}+\mathbf{y}$ также принадлежал $K$ .

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

Для всяких векторов $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in K$ , вектор $\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}$ также принадлежал $K$ для любых $\alpha, \beta \in F$ .

В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными .

Свойства подпространств

Пересечение любого семейства подпространств - снова подпространство;
Сумма подпространств \{K_i\quad|\quad i \in 1\ldots N\} определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов K_i: \sum_{i=1}^N {K_i}:= \{\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2 + \ldots + \mathbf{x}_N\quad|\quad \mathbf{x}_i \in K_i\quad (i\in 1\ldots N)\}.
- Сумма конечного семейства подпространств - снова подпространство.

Линейные комбинации

Конечная сумма вида

$\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n$

Линейная комбинация называется:

Базис. Размерность

Векторы $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n$ называются линейно зависимыми , если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю:

$\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n = \mathbf{0}, \quad \ |\alpha_1| + |\alpha_2| + \ldots + |\alpha_n| \neq 0.$

В противном случае эти векторы называются линейно независимыми .

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из $V$ называется линейно зависимым , если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым , если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Свойства базиса:

Любые $n$ линейно независимых элементов $n$ -мерного пространства образуют базис этого пространства.
Любой вектор $\mathbf{x} \in V$ можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

\mathbf{x} = \alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n

Линейная оболочка

Линейная оболочка $\mathcal V(X)$ подмножества $X$ линейного пространства $V$ - пересечение всех подпространств $V$ , содержащих $X$ .

Линейная оболочка является подпространством $V$ .

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным $X$ . Говорят также, что линейная оболочка $\mathcal V(X)$ - пространство, натянутое на множество $X$ .

Линейная оболочка $\mathcal V(X)$ состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из $X$ . В частности, если $X$ - конечное множество, то $\mathcal V(X)$ состоит из всех линейных комбинаций элементов $X$ . Таким образом, нулевой вектор всегда принадлежит линейной оболочке.

Если $X$ - линейно независимое множество, то оно является базисом $\mathcal V(X)$ и тем самым определяет его размерность.

Примеры

Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
Пространство всех функций $X\to F$ с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной мощности $X$ .
Поле действительных чисел может быть рассмотрено как континуально -мерное векторное пространство над полем рациональных чисел .
Любое поле является одномерным пространством над собой.

Дополнительные структуры

См. также

Напишите отзыв о статье "Векторное пространство"

Примечания

Литература

Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. - 5-е. - М .: Добросвет, МЦНМО , 1998. - 319 с. - ISBN 5-7913-0015-8 .
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. 5-е изд. - М .: Добросвет, МЦНМО, 1998. - 320 с. - ISBN 5-7913-0016-6 .
Кострикин А. И. , Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. - М .: Наука , 1986. - 304 с.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 2: Линейная алгебра. - 3-е. - М .: Наука ., 2004. - 368 с. - (Университетский учебник).
Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. - 3-е. - М .: Наука , 1970. - 400 с.

Постников М. М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). - 2-е. - М .: Наука , 1986. - 400 с.
Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. - М .: Мир , 1980. - 454 с.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. 6-е изд. - М .: Физматлит, 2010. - 280 с. - ISBN 978-5-9221-0481-4 .
Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-Dimensional Vector Spaces. - М .: Физматгиз , 1963. - 263 с.
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. - 5-е. - СПб. : Лань , 2007. - 416 с.
Шафаревич И. Р. , Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. - 1-е. - М .: Физматлит , 2009. - 511 с.
Шрейер О., Шпернер Г. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Ольшанский Г. (перевод с немецкого). - М.–Л.: ОНТИ , 1934. - 210 с.

Векторы и матрицы

Векторы

Основные понятия

Виды векторов

Операции над векторами

Типы пространств

Матрицы

Основные понятия

Другое

Отрывок, характеризующий Векторное пространство

Кутузов прошел по рядам, изредка останавливаясь и говоря по нескольку ласковых слов офицерам, которых он знал по турецкой войне, а иногда и солдатам. Поглядывая на обувь, он несколько раз грустно покачивал головой и указывал на нее австрийскому генералу с таким выражением, что как бы не упрекал в этом никого, но не мог не видеть, как это плохо. Полковой командир каждый раз при этом забегал вперед, боясь упустить слово главнокомандующего касательно полка. Сзади Кутузова, в таком расстоянии, что всякое слабо произнесенное слово могло быть услышано, шло человек 20 свиты. Господа свиты разговаривали между собой и иногда смеялись. Ближе всех за главнокомандующим шел красивый адъютант. Это был князь Болконский. Рядом с ним шел его товарищ Несвицкий, высокий штаб офицер, чрезвычайно толстый, с добрым, и улыбающимся красивым лицом и влажными глазами; Несвицкий едва удерживался от смеха, возбуждаемого черноватым гусарским офицером, шедшим подле него. Гусарский офицер, не улыбаясь, не изменяя выражения остановившихся глаз, с серьезным лицом смотрел на спину полкового командира и передразнивал каждое его движение. Каждый раз, как полковой командир вздрагивал и нагибался вперед, точно так же, точь в точь так же, вздрагивал и нагибался вперед гусарский офицер. Несвицкий смеялся и толкал других, чтобы они смотрели на забавника.
Кутузов шел медленно и вяло мимо тысячей глаз, которые выкатывались из своих орбит, следя за начальником. Поровнявшись с 3 й ротой, он вдруг остановился. Свита, не предвидя этой остановки, невольно надвинулась на него.
– А, Тимохин! – сказал главнокомандующий, узнавая капитана с красным носом, пострадавшего за синюю шинель.
Казалось, нельзя было вытягиваться больше того, как вытягивался Тимохин, в то время как полковой командир делал ему замечание. Но в эту минуту обращения к нему главнокомандующего капитан вытянулся так, что, казалось, посмотри на него главнокомандующий еще несколько времени, капитан не выдержал бы; и потому Кутузов, видимо поняв его положение и желая, напротив, всякого добра капитану, поспешно отвернулся. По пухлому, изуродованному раной лицу Кутузова пробежала чуть заметная улыбка.
– Еще измайловский товарищ, – сказал он. – Храбрый офицер! Ты доволен им? – спросил Кутузов у полкового командира.
И полковой командир, отражаясь, как в зеркале, невидимо для себя, в гусарском офицере, вздрогнул, подошел вперед и отвечал:
– Очень доволен, ваше высокопревосходительство.
– Мы все не без слабостей, – сказал Кутузов, улыбаясь и отходя от него. – У него была приверженность к Бахусу.
Полковой командир испугался, не виноват ли он в этом, и ничего не ответил. Офицер в эту минуту заметил лицо капитана с красным носом и подтянутым животом и так похоже передразнил его лицо и позу, что Несвицкий не мог удержать смеха.
Кутузов обернулся. Видно было, что офицер мог управлять своим лицом, как хотел: в ту минуту, как Кутузов обернулся, офицер успел сделать гримасу, а вслед за тем принять самое серьезное, почтительное и невинное выражение.
Третья рота была последняя, и Кутузов задумался, видимо припоминая что то. Князь Андрей выступил из свиты и по французски тихо сказал:
– Вы приказали напомнить о разжалованном Долохове в этом полку.
– Где тут Долохов? – спросил Кутузов.
Долохов, уже переодетый в солдатскую серую шинель, не дожидался, чтоб его вызвали. Стройная фигура белокурого с ясными голубыми глазами солдата выступила из фронта. Он подошел к главнокомандующему и сделал на караул.
– Претензия? – нахмурившись слегка, спросил Кутузов.
– Это Долохов, – сказал князь Андрей.
– A! – сказал Кутузов. – Надеюсь, что этот урок тебя исправит, служи хорошенько. Государь милостив. И я не забуду тебя, ежели ты заслужишь.
Голубые ясные глаза смотрели на главнокомандующего так же дерзко, как и на полкового командира, как будто своим выражением разрывая завесу условности, отделявшую так далеко главнокомандующего от солдата.
– Об одном прошу, ваше высокопревосходительство, – сказал он своим звучным, твердым, неспешащим голосом. – Прошу дать мне случай загладить мою вину и доказать мою преданность государю императору и России.
Кутузов отвернулся. На лице его промелькнула та же улыбка глаз, как и в то время, когда он отвернулся от капитана Тимохина. Он отвернулся и поморщился, как будто хотел выразить этим, что всё, что ему сказал Долохов, и всё, что он мог сказать ему, он давно, давно знает, что всё это уже прискучило ему и что всё это совсем не то, что нужно. Он отвернулся и направился к коляске.
Полк разобрался ротами и направился к назначенным квартирам невдалеке от Браунау, где надеялся обуться, одеться и отдохнуть после трудных переходов.
– Вы на меня не претендуете, Прохор Игнатьич? – сказал полковой командир, объезжая двигавшуюся к месту 3 ю роту и подъезжая к шедшему впереди ее капитану Тимохину. Лицо полкового командира выражало после счастливо отбытого смотра неудержимую радость. – Служба царская… нельзя… другой раз во фронте оборвешь… Сам извинюсь первый, вы меня знаете… Очень благодарил! – И он протянул руку ротному.
– Помилуйте, генерал, да смею ли я! – отвечал капитан, краснея носом, улыбаясь и раскрывая улыбкой недостаток двух передних зубов, выбитых прикладом под Измаилом.
– Да господину Долохову передайте, что я его не забуду, чтоб он был спокоен. Да скажите, пожалуйста, я всё хотел спросить, что он, как себя ведет? И всё…
– По службе очень исправен, ваше превосходительство… но карахтер… – сказал Тимохин.
– А что, что характер? – спросил полковой командир.
– Находит, ваше превосходительство, днями, – говорил капитан, – то и умен, и учен, и добр. А то зверь. В Польше убил было жида, изволите знать…
– Ну да, ну да, – сказал полковой командир, – всё надо пожалеть молодого человека в несчастии. Ведь большие связи… Так вы того…
– Слушаю, ваше превосходительство, – сказал Тимохин, улыбкой давая чувствовать, что он понимает желания начальника.
– Ну да, ну да.
Полковой командир отыскал в рядах Долохова и придержал лошадь.
– До первого дела – эполеты, – сказал он ему.
Долохов оглянулся, ничего не сказал и не изменил выражения своего насмешливо улыбающегося рта.
– Ну, вот и хорошо, – продолжал полковой командир. – Людям по чарке водки от меня, – прибавил он, чтобы солдаты слышали. – Благодарю всех! Слава Богу! – И он, обогнав роту, подъехал к другой.
– Что ж, он, право, хороший человек; с ним служить можно, – сказал Тимохин субалтерн офицеру, шедшему подле него.
– Одно слово, червонный!… (полкового командира прозвали червонным королем) – смеясь, сказал субалтерн офицер.
Счастливое расположение духа начальства после смотра перешло и к солдатам. Рота шла весело. Со всех сторон переговаривались солдатские голоса.
– Как же сказывали, Кутузов кривой, об одном глазу?
– А то нет! Вовсе кривой.
– Не… брат, глазастее тебя. Сапоги и подвертки – всё оглядел…
– Как он, братец ты мой, глянет на ноги мне… ну! думаю…
– А другой то австрияк, с ним был, словно мелом вымазан. Как мука, белый. Я чай, как амуницию чистят!
– Что, Федешоу!… сказывал он, что ли, когда стражения начнутся, ты ближе стоял? Говорили всё, в Брунове сам Бунапарте стоит.
– Бунапарте стоит! ишь врет, дура! Чего не знает! Теперь пруссак бунтует. Австрияк его, значит, усмиряет. Как он замирится, тогда и с Бунапартом война откроется. А то, говорит, в Брунове Бунапарте стоит! То то и видно, что дурак. Ты слушай больше.
– Вишь черти квартирьеры! Пятая рота, гляди, уже в деревню заворачивает, они кашу сварят, а мы еще до места не дойдем.
– Дай сухарика то, чорт.
– А табаку то вчера дал? То то, брат. Ну, на, Бог с тобой.
– Хоть бы привал сделали, а то еще верст пять пропрем не емши.
– То то любо было, как немцы нам коляски подавали. Едешь, знай: важно!
– А здесь, братец, народ вовсе оголтелый пошел. Там всё как будто поляк был, всё русской короны; а нынче, брат, сплошной немец пошел.
– Песенники вперед! – послышался крик капитана.
И перед роту с разных рядов выбежало человек двадцать. Барабанщик запевало обернулся лицом к песенникам, и, махнув рукой, затянул протяжную солдатскую песню, начинавшуюся: «Не заря ли, солнышко занималося…» и кончавшуюся словами: «То то, братцы, будет слава нам с Каменскиим отцом…» Песня эта была сложена в Турции и пелась теперь в Австрии, только с тем изменением, что на место «Каменскиим отцом» вставляли слова: «Кутузовым отцом».
Оторвав по солдатски эти последние слова и махнув руками, как будто он бросал что то на землю, барабанщик, сухой и красивый солдат лет сорока, строго оглянул солдат песенников и зажмурился. Потом, убедившись, что все глаза устремлены на него, он как будто осторожно приподнял обеими руками какую то невидимую, драгоценную вещь над головой, подержал ее так несколько секунд и вдруг отчаянно бросил ее:
Ах, вы, сени мои, сени!
«Сени новые мои…», подхватили двадцать голосов, и ложечник, несмотря на тяжесть амуниции, резво выскочил вперед и пошел задом перед ротой, пошевеливая плечами и угрожая кому то ложками. Солдаты, в такт песни размахивая руками, шли просторным шагом, невольно попадая в ногу. Сзади роты послышались звуки колес, похрускиванье рессор и топот лошадей.
Кутузов со свитой возвращался в город. Главнокомандующий дал знак, чтобы люди продолжали итти вольно, и на его лице и на всех лицах его свиты выразилось удовольствие при звуках песни, при виде пляшущего солдата и весело и бойко идущих солдат роты. Во втором ряду, с правого фланга, с которого коляска обгоняла роты, невольно бросался в глаза голубоглазый солдат, Долохов, который особенно бойко и грациозно шел в такт песни и глядел на лица проезжающих с таким выражением, как будто он жалел всех, кто не шел в это время с ротой. Гусарский корнет из свиты Кутузова, передразнивавший полкового командира, отстал от коляски и подъехал к Долохову.
Гусарский корнет Жерков одно время в Петербурге принадлежал к тому буйному обществу, которым руководил Долохов. За границей Жерков встретил Долохова солдатом, но не счел нужным узнать его. Теперь, после разговора Кутузова с разжалованным, он с радостью старого друга обратился к нему:
– Друг сердечный, ты как? – сказал он при звуках песни, ровняя шаг своей лошади с шагом роты.
– Я как? – отвечал холодно Долохов, – как видишь.
Бойкая песня придавала особенное значение тону развязной веселости, с которой говорил Жерков, и умышленной холодности ответов Долохова.
– Ну, как ладишь с начальством? – спросил Жерков.
– Ничего, хорошие люди. Ты как в штаб затесался?
– Прикомандирован, дежурю.
Они помолчали.
«Выпускала сокола да из правого рукава», говорила песня, невольно возбуждая бодрое, веселое чувство. Разговор их, вероятно, был бы другой, ежели бы они говорили не при звуках песни.
– Что правда, австрийцев побили? – спросил Долохов.
– А чорт их знает, говорят.
– Я рад, – отвечал Долохов коротко и ясно, как того требовала песня.
– Что ж, приходи к нам когда вечерком, фараон заложишь, – сказал Жерков.
– Или у вас денег много завелось?
– Приходи.
– Нельзя. Зарок дал. Не пью и не играю, пока не произведут.
– Да что ж, до первого дела…
– Там видно будет.
Опять они помолчали.
– Ты заходи, коли что нужно, все в штабе помогут… – сказал Жерков.
Долохов усмехнулся.
– Ты лучше не беспокойся. Мне что нужно, я просить не стану, сам возьму.
– Да что ж, я так…
– Ну, и я так.
– Прощай.
– Будь здоров…
… и высоко, и далеко,
На родиму сторону…
Жерков тронул шпорами лошадь, которая раза три, горячась, перебила ногами, не зная, с какой начать, справилась и поскакала, обгоняя роту и догоняя коляску, тоже в такт песни.

Возвратившись со смотра, Кутузов, сопутствуемый австрийским генералом, прошел в свой кабинет и, кликнув адъютанта, приказал подать себе некоторые бумаги, относившиеся до состояния приходивших войск, и письма, полученные от эрцгерцога Фердинанда, начальствовавшего передовою армией. Князь Андрей Болконский с требуемыми бумагами вошел в кабинет главнокомандующего. Перед разложенным на столе планом сидели Кутузов и австрийский член гофкригсрата.
– А… – сказал Кутузов, оглядываясь на Болконского, как будто этим словом приглашая адъютанта подождать, и продолжал по французски начатый разговор.
– Я только говорю одно, генерал, – говорил Кутузов с приятным изяществом выражений и интонации, заставлявшим вслушиваться в каждое неторопливо сказанное слово. Видно было, что Кутузов и сам с удовольствием слушал себя. – Я только одно говорю, генерал, что ежели бы дело зависело от моего личного желания, то воля его величества императора Франца давно была бы исполнена. Я давно уже присоединился бы к эрцгерцогу. И верьте моей чести, что для меня лично передать высшее начальство армией более меня сведущему и искусному генералу, какими так обильна Австрия, и сложить с себя всю эту тяжкую ответственность для меня лично было бы отрадой. Но обстоятельства бывают сильнее нас, генерал.
И Кутузов улыбнулся с таким выражением, как будто он говорил: «Вы имеете полное право не верить мне, и даже мне совершенно всё равно, верите ли вы мне или нет, но вы не имеете повода сказать мне это. И в этом то всё дело».
Австрийский генерал имел недовольный вид, но не мог не в том же тоне отвечать Кутузову.
– Напротив, – сказал он ворчливым и сердитым тоном, так противоречившим лестному значению произносимых слов, – напротив, участие вашего превосходительства в общем деле высоко ценится его величеством; но мы полагаем, что настоящее замедление лишает славные русские войска и их главнокомандующих тех лавров, которые они привыкли пожинать в битвах, – закончил он видимо приготовленную фразу.
Кутузов поклонился, не изменяя улыбки.
– А я так убежден и, основываясь на последнем письме, которым почтил меня его высочество эрцгерцог Фердинанд, предполагаю, что австрийские войска, под начальством столь искусного помощника, каков генерал Мак, теперь уже одержали решительную победу и не нуждаются более в нашей помощи, – сказал Кутузов.
Генерал нахмурился. Хотя и не было положительных известий о поражении австрийцев, но было слишком много обстоятельств, подтверждавших общие невыгодные слухи; и потому предположение Кутузова о победе австрийцев было весьма похоже на насмешку. Но Кутузов кротко улыбался, всё с тем же выражением, которое говорило, что он имеет право предполагать это. Действительно, последнее письмо, полученное им из армии Мака, извещало его о победе и о самом выгодном стратегическом положении армии.
– Дай ка сюда это письмо, – сказал Кутузов, обращаясь к князю Андрею. – Вот изволите видеть. – И Кутузов, с насмешливою улыбкой на концах губ, прочел по немецки австрийскому генералу следующее место из письма эрцгерцога Фердинанда: «Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70 000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereitelien. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient». [Мы имеем вполне сосредоточенные силы, около 70 000 человек, так что мы можем атаковать и разбить неприятеля в случае переправы его через Лех. Так как мы уже владеем Ульмом, то мы можем удерживать за собою выгоду командования обоими берегами Дуная, стало быть, ежеминутно, в случае если неприятель не перейдет через Лех, переправиться через Дунай, броситься на его коммуникационную линию, ниже перейти обратно Дунай и неприятелю, если он вздумает обратить всю свою силу на наших верных союзников, не дать исполнить его намерение. Таким образом мы будем бодро ожидать времени, когда императорская российская армия совсем изготовится, и затем вместе легко найдем возможность уготовить неприятелю участь, коей он заслуживает».]

ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО (линейное пространство), одно из фундаментальных понятий алгебры, обобщающее понятие совокупности (свободных) векторов. В векторном пространстве вместо векторов рассматриваются любые объекты, которые можно складывать и умножать на числа; при этом требуется, чтобы основные алгебраические свойства этих операций были такими же, как и для векторов в элементарной геометрии. В точном определении числа заменяются элементами любого поля К. Векторным пространством над полем К называется множество V с операцией сложения элементов из V и операцией умножения элементов из V на элементы из поля К, которые обладают следующими свойствами:

х + у = у + х для любых х, у из V, т. е. относительно сложения V является абелевой группой;

λ(х + у) = λ χ + λу для любых λ из К и х, у из V;

(λ + μ)х = λх + μх для любых λ, μ из К и х из V;

(λ μ)х = λ(μх) для любых λ, μ из К и х из V;

1х = х для любого х из V, здесь 1 означает единицу поля К.

Примерами векторного пространства являются: множества L 1 , L 2 и L 3 всех векторов из элементарной геометрии, соответственно на прямой, плоскости и в пространстве с обычными операциями сложения векторов и умножения на число; координатное векторному пространству K n , элементами которого являются всевозможные строки (векторы) длины n с элементами из поля К, а операции заданы формулами

множество F(M, К) всех функций, оп-ределённых на фиксированном множе-стве М и принимающих значения в поле К, с обычными операциями над функ-циями:

Элементы векторного пространства е 1 ..., е n называются линейно независимыми, если из равенства λ 1 e 1 + ... +λ n е n = 0 Є V следует, что все λ 1 , λ 2 ,..., λ n = 0 Є К. В противном слу-чае элементы е 1 , е 2 , ···> е n называются линейно зависимыми. Если в векторном пространстве V любые n + 1 элементов e 1 ,..., е n+1 ли-нейно зависимы и существует n линей-но независимых элементов, то V назы-вается n-мерным векторным пространством, а n - размерно-стью векторного пространства V. Если в векторном пространстве V для любого натурального n существует n линейно независимых векторов, то V называется бесконечномерным векторным пространством. Например, векторное пространство L 1 , L 2 , L 3 и К n соответственно 1-, 2-, 3- и n-мерны; если М - бесконечное множество, то векторное пространство F(М, К) бесконечномерно.

Векторное пространство V и U над полем К называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение φ : V -> U такое, что φ(х+у) = φ(х) + φ(у) для любых х, у из V и φ(λх) = λ φ(х) для любых λ из К и х из V. Изоморфные векторные пространства являются алгебраически неразличимыми. Классификация конечномерных векторных пространств с точностью до изоморфности даётся их размерностью: любое n-мерное векторное пространство над полем К изоморфно координатному векторному пространству К n . Смотри также Гильбертово пространство, Линейная алгебра.